Razonamiento Matematico

Factorizacion de los productos notables

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Factorizacion y ejemplos:

Factor comun

Ejemplo: $3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Ejemplo: $(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

Producto de dos binomios con un término común

Ejemplo: $(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,$

agrupando términos:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,$

luego:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,$

Producto de dos binomios conjugados

Ejemplo: $(3x+5y)(3x-5y) = \,$; $(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,$

agrupando términos:

$(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,$

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

Ejemplo: $(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,$

multiplicando los monomios:

$(3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,$

$+ 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,$

$+ (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,$

agrupando términos:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,$

luego:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,$

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Ejemplo: $(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,$

agrupando términos:

$(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,$

Trinomios cuadrados perfectos y no perfectos

si multiplicamos $a\cdot{c}$ y $b\cdot{d}$ la suma es el coeficiente de x

Ejemplos:

$6x^2+13x+6\\ 3\cdot{3}=9\\ 2\cdot{2}=4\\ 9+4=13\\ 13 \textrm{es el coeficiente de x}\\ (3x+2)(2x+3)\\$

$x^2+6x+5\\ 1\cdot{1}=1\\ 1\cdot{5}=5\\ 1+5=6\\ 6 \textrm{es el coeficiente de x}\\ (x+5)(x+1)\\$

$x^2-10x+21\\ 1\cdot{-3}=-3\\ 1\cdot{-7}=-7\\ -3+(-7)=-10\\ -10 \textrm{es el coeficiente de x}\\ (x-7)(x-3)\\$

Factorizacion

$\textrm{1- 7xy+2xz= x(7y+2z)}\\ \textrm{2- 5xy+3xy= xy(5+3)}\\ \textrm{3- 7a\wedge2(b)+5ab\wedge2+3b\wedge3= b(7a\wedge2+5ab+3b\wedge2}\\ \textrm{4- 5x\wedge2-x= x(5x-9}$

Problema con areas y ecuaciones

La deferencia del lado mayor menos el lado menor de un rectangulo es 6 y su perimetro es menor a igual que 30. Cuales son las medidas del rectangulo?

x= mayor
y= menor

$x-y= 6\\ p= 2x+2y\\ (x-y=6)2= 2x-2y=12\\ 2x-2y=12\\ 2x+2y=30\\ 4x=42\\ x=\frac{42}{4}\\ p=2(10.5)+2(4.5)=30\\ 21+9=30\\ 30=30\\$

Problemas con ecuaciones

2 angulos son suplementarios, el mayor es el cuadruplo del menor. cuanto mide cada uno.

a= mayor

b= menor

$a+b=180\\ a=4b\\ 4b+b=180\\ 5b=180\\ b=\frac{180}{5}\\ b=36\\ a+36=180\\ a=180-36\\ a=144\\ 144+36=180\\ 180=180\\$

Raiz Cuadrada

1- $\sqrt{50}=\\ \sqrt{5^2\cdot{2}}\\ (5^2)½\cdot{2½}=\\ 5\cdot{\sqrt{2}}\\$

2- $\sqrt{256}=\\ \sqrt{2^8}= (2^8)½=2\frac{8}{2}=2^4 =16$

Acertijo Adios mis cien palomas

Estaba un gavilán parado en un árbol, y ve pasar una parvada de palomas y el dice "adiós mis cien palomas". Una paloma le contesta "No señor gavilán, con estas (osea las palomas que iban volando) y otras tantas como estas (más la misma cantidad de palomas), más la mitad de estas, más la cuarta parte de estas y usted, serian cien"¿Cuántas palomas eran?

x = cantidad de palomas

$x+x+\frac{x}{2}+1100\\ x+x+\frac{x}{4}+1=100\\ x+x+\frac{x}{2}+\displaystyle\binom{\frac{x}{2}}{\frac{2}{1}}+1=100\\ x+x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+1=100\\ 11+\frac{x}{4}=100-1\\ 11+\frac{x}{4}=99\\ \frac{x}{4}=\frac{99}{11}\\ \frac{x}{4}=9\\ x=9\cdot{4}\\ x=36$

Razonamiento Matematico

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Producto de dos binomios con un término común

Producto de dos binomios conjugados

Polinomio al cuadrado

Binomio al cubo o cubo de un binomio

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